Множества - это наборы однотипных логически связанных друг с другом объектов. Характер связей между объектами лишь подразумевается программистом и никак не контролируется Турбо Паскалем. Количество элементов, входящих в множество, может меняться в пределах от 0 до 256 (множество, не содержащее элементов, называется пустым). Именно непостоянством количества своих элементов множества отличаются от массивов и записей.
Два множества считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда все их элементы одинаковы, причем порядок следования элементов в множестве безразличен. Если все элементы одного множества входят также и в другое, говорят о включении первого множества во второе. Пустое множество включается в любое другое.
Пример определения и задания множеств:
type
digitChar= set of '0'..'9';
digit = set of 0. .9;
var
sl,s2,s3 :digitChar;
s4,s5,s6 :digit;
begin
.....
s1:=['1','2','3'];
s2:=['3','2','1'];
s3:=['2','3'];
s4:=[0..3,6];
s5:=[4,5];
s6:=[3..9];
.....
end.
В этом примере множества S1 и S2 эквивалентны, а множество S3 включено в S2 , но не эквивалентно ему.
Описание типа множества имеет вид:
<имя типа> = SET OF <баз.тип>
Здесь <имя типа> - правильный идентификатор;
SET, OF - зарезервированные слова (множество, из);
<баз.тип> - базовый тип элементов множества, в качестве которого может
использоваться любой порядковый тип, кроме WORD, INTEGER, LONGINT.
Для задания множества используется так называемый конструктор множества: список спецификаций элементов множества, отделяемых друг от друга запятыми; список обрамляется квадратными скобками (см. предыдущий пример). Спецификациями элементов могут быть константы или выражения базового типа, а также - тип-диапазон того же базового типа.
Над множествами определены следующие операции:
* пересечение множеств; результат содержит элементы, общие для обоих множеств; например, S4*S6 содержит [3], S4*S5 - пустое множество (см. выше);
+ объединение множеств; результат содержит элементы первого множества, дополненные недостающими элементами из второго множества:
S4+S5 содержит [0,1,2,3,4,5,6];
S5+S6 содержит [3,4,5,6,7,8,9];
- разность множеств; результат содержит элементы из первого множества, которые не принадлежат второму:
S6-S5 содержит [3,6,7,8,9];
S4-S5 содержит [0,1,2,3,6];
= проверка эквивалентности; возвращает TRUE, если оба множества эквивалентны;
<> проверка неэквивалентности; возвращает TRUE, если оба множества неэквивалентны;
<= проверка вхождения; возвращает TRUE, если первое множество включено во второе;
>= проверка вхождения; возвращает TRUE, если второе множество включено в первое;
IN проверка принадлежности; в этой бинарной операции первый элемент - выражение, а второй - множество одного и того же типа; возвращает TRUE , если выражение имеет значение, принадлежащее множеству:
3 in s6 возвращает TRUE;
2*2 in s1 возвращает FALSE.
Дополнительно к этим операциям можно использовать две процедуры. INCLUDE - включает новый элемент во множество. Обращение к процедуре:
INCLUDE (S,I)
Здесь S - множество, состоящее из элементов базового типа TSetBase;
I - элемент типа TSetBase, который необходимо включить во множество.
EXCLUDE - исключает элемент из множества. Обращение:
EXCLUDE(S,I)
Параметры обращения - такие же, как у процедуры INCLUDE.
В отличие от операций + и -, реализующих аналогичные действия над двумя множествами, процедуры оптимизированы для работы с одиночными элементами множеcтва и поэтому отличаются высокой скоростью выполнения.
В примере 3.1, иллюстрирующем приемы работы с множествами, реализуется алгоритм выделения из первой сотни натуральных чисел всех простых чисел. В его основе лежит прием, известный под названием «решето Эратосфена». В соответствии с этим алгоритмом вначале формируется множество BEGINSET, состоящее из всех целых чисел в диапазоне от 2 до N. В множество PRIMERSET (оно будет содержать искомые простые числа) помещается 1. Затем циклически повторяются следующие действия:
Цикл повторяется до тех пор, пока множество BEGINSET не станет пустым.
Эту программу нельзя использовать для произвольного N, так как в любом множестве не может быть больше 256 элементов.
Пример 3.1
Program Primer_numbers_detect;
{Выделение всех простых чисел из первых N целых}
const
N = 255; {Количество элементов исходного множества}
type
SetOfNumber = set of 1..N;
var
n1,next,i : Word; {Вспомогательные переменные}
BeginSet, {Исходное множество}
PrimerSet : SetOfNumber; {Множество простых чисел} .
begin
BeginSet := [2. .N] ; {Создаем исходное множество}
PrimerSet:= [1]; {Первое простое число}
next:= 2; {Следующее простое число}
while BeginSet <> [] do {Начало основного цикла}
begin
n1 := next;{n1-число,кратное очередному простому (next)}
{Цикл удаления из исходного множества непростых чисел:}
while n1 <= N do
begin
Exclude(BeginSet,nl);
n1 := n1+next {Следующее кратное}
end; {Конец цикла удаления}
Include(PrimerSet,next);
{Получаем следующее простое, которое есть первое невычеркнутое из исходного множества}
repeat
inc(next)
until (next in BeginSet) or (next > N)
end; {Конец основного цикла}
{Выводим результат:}
for i := 1 to N do
if i in PrimerSet then Write(i:8);
WriteLn
END.
Перед тем как закончить рассмотрение множеств полезно провести небольшой эксперимент. Измените описание типа SETOFNUMBER следующим образом:
type
SetOf Number = set of 1. . 1 ;
и еще раз запустите программу из предыдущего примера. На экран будет выведено
1 3 5 7
Множества BeginSet и PrimerSet состоят теперь из одного элемента, а программа сумела поместить в них не менее семи! Секрет этого прост: внутреннее устройство множества таково, что каждому его элементу ставится в соответствие один двоичный разряд (один бит); если элемент включен во множество, соответствующий разряд имеет значение 1, в противном случае - 0. Минимальной единицей памяти является один байт, содержащий 8 бит. Компилятор выделил множествам по одному байту, в результате мощность каждого из них стала равна 8 элементов. Максимальная мощность множества - 256 элементов. Для таких множеств компилятор выделяет по 16 смежных байт.
И еще один эксперимент: измените диапазон базового типа на 1.256. Хотя мощность этого типа составляет 256 элементов, при попытке компиляции программы компилятор сообщит:
Error 23: Set base type out of range.
(Ошибка 23: Базовый тип множества выходит за допустимые границы.)
Компилятор разрешает использовать в качестве базового типа целочисленный тип-диапазон с минимальной границей 0 и максимальной 255 или любой перечисляемый тип не более чем с 256 элементами (максимальная мощность перечисляемого типа -5536 элементов).