2.1. Циклические программы

Наиболее часто в практике программирования встречаются циклические программы. В циклических программах какой-либо алгоритм повторяется многократно, при этом один из параметров изменяется. Например, программа Рrim 4 является классическим примером циклического алгоритма. Операторов цикла в Паскале три: for, repeat, while.

Оператор for

Оператор состоит из заголовка, в котором определяется порядок изменения переменной параметра цикла и тела цикла, являющегося многократно повторяющимся алгоритмом. Общий вид оператора:

for - параметр цикла: = начальное значение to, конечное значение do {заголовок}; оператор; {тело цикла}. Этот оператор применяется, если начальное значение < конечного значения;

for - параметр цикла:=начальное значение downto, конечное значение do; оператор; применяется, если начальное значение > конечного значения.

Правила применения оператора цикла for

1.Тело цикла - всегда один оператор. Если нужно, чтобы тело цикла состояло из нескольких операторов, то их объединяют в один с помощью операторных скобок begin, end.

for i:=l to n do

Begin S:=S+sin(x)/cos(x);

x=x+0.01;

writeln('S=' ,S)

end.

Операторы, взятые в операторные скобки begin, end, считаются одним составным оператором.

2. Начальное и конечное значения параметра цикла в общем случае являются выражениями. Тип этих выражений и тип параметра цикла должны совпадать. Здесь допускается применение любых типов, которые упорядочены с каким-либо фиксированным шагом, это может быть любой скалярный тип, кроме вещественного, т.е. байтовый, целый, символьный, перечисляемый, интервальный, булевский. на практике чаще всего применяют целочисленный тип.

3. В теле цикла параметр цикла не должен изменяться.

4. Нельзя с помощью оператора перехода goto войти в тело цикла, минуя заголовок.

5. Выйти из тела цикла в программу можно по if..goto, не дожидаясь полного перебора параметров цикла.

Пример: написать программу, выводящую буквы латинского алфавита в одну сторону, с пробелом между ними.

Применяем здесь в качестве параметра цикла символьную переменную, в качестве начального значения параметра - константу 'A', конечного - 'Z'.

Program Prim13;

Var

i:char;

BEGIN

for i:='a' to 'z' do

write(' ',i);

readln; END.

Пример: вычислить значение определенного интеграла на участке a,b для функции cos х, т.е. определить площадь

Применим метод трапеций, суть которого заключается в том, что область делится на ряд трапеций, площади которых вычисляются и суммируются. Чем на большее количество трапеций мы разделим область, тем точнее получим результат

Program Prim14;

Var i,n:integer; a,b,x,h,s:real;

BEGIN
writeln('введите к-во точек разбиения n и величины а,b');

readln(n,a,b);

h:=(b-a)/n; s:=0; x:=a;

for i:=1 to n do

Begin s:=s+(abs(cos(x))+abs(cos(x+h)))/2*h;

x:=x+h; end;

writeln('s=',s);

readln;
END.

Замечание: при вычислении S (так как функция пересекает ось OX) часть площадей может иметь отрицательное значение, поэтому мы берем abs(f(x)).

Усложним задачу: пусть нужно найти площадь криволинейной трапеции (интеграл), где функция от точки а до b sin(x), а после b до с cos(x).

Program Prim15;

Var i,n:integer; a,b,c,x,h,s,fxpred,fxposl:real;

BEGIN
writeln('введите к-во точек разбиения n и величины а,b,c');

readln(n,a,b,c);

В последних двух программах мы заменяем площадь криволинейной трапеции (интеграл) суммой трапеций. При этом нам неизвестно, какую ошибку мы допустим; знаем, что чем больше точек разбиения, тем точнее будет результат. Поставим задачу: совершенно точно знать, что мы посчитаем интеграл с точностью не менее заданной, например, что разность между площадью криволинейной трапеции и суммой прямоугольных трапеций будет не больше Е = 0.01. Для этого нам нужно посчитать результат для количества точек, например 10, затем - 100. Сравнить величины площадей, и, если их разность будет меньше Е, то можно с уверенностью сказать, что площадь для разбиения на 100 интервалов будет найдена с точностью не менее Е. Если разность между расчетами на 10 и 100 интервалов больше Е, то следует разбить область интегрирования на 1000 интервалов и сравнить сумму для 100 интервалов с суммой для 1000 интервалов, и если их разница будет меньше Е, то за результат принять площадь, посчитанную для 1000 разбиений и т.д. рано или поздно мы получим искомый результат. Сравнения сумм площадей трапеций будем производить с помощью оператора if.

Пусть функция будет cos(x). Напишем программу:

Program Prim16;

Label NAH,KON;

Var i,n:integer; a,b,x,h,spred,spos,e:real;

BEGIN
writeln('введите точность е и границы a, b');

NAH: spos:=0; h:=(b-a)/n; x:=a;

for i:=1 to n do
Begin
spos:=spos+(abs(cos(x))+abs(cos(x+h)))/2*h; x:=x+h;
end;

if abs(spos-spred)<=e then
Begin
writeln('s=',spos,' n=',n);
goto KON;
end

else spred:=spos;
n:=n*10;
x:=a;
goto nah;

KON:readln;
END.

Работа программы: for i: = i to n do, в первый раз оператор

Spоs: = spos+(abs(cos(x))+abs(cos(x+h)))/2h

посчитает значение интеграла для 10 точек разбиения. Затем if сравнит полученное значение spos с 9.9Е+10. Конечно, разница между этими величинами не будет меньше е, тогда мы забудем число 9.9Е+10, так как присвоим spred: = spоs, чтобы при следующем выполнении if сравнивать предыдущее и последующее значения интеграла. После этого увеличим количество точек разбиения n: = n10 и вернемся на начало вычисления spos, т.е. интеграла для 100 интервалов goto nach. После нового вычисления spos сравним 100 интервалов для 10 интервалов spred. Если разность между ними не меньше Е, то забудем значение s для 10 интервалов и занесем в spred значение для 100 интервалов. Затем вычислим значение интеграла для разбиения 1000 и результат занесем в spos, сравним spred и spos и т.д.

Пример: найти сумму квадратов целых чисел от 8 до 124.

Program Prim12;
Var i,s:integer;
BEGIN
s:=0;
for i:= 8 to 124 do
s:=s+sqr(i);
writeln('s=',s);
readln;

END.

Работа программы. В разделе Var выделяется ячейка памяти с именем i и s для хранения величин. Поскольку в S мы должны накапливать сумму, то вначале занесем в S ноль. Затем заголовок цикла присваивает i=8. далее выполняется тело цикла: извлекается содержимое ячейки S (а там у нас 0) и к этому содержимому прибавляется sgr(i), т.е. i²=8². Результат присваивается ячейке S, т.е. в S теперь 8².

Проверяется, не стал ли параметр цикла больше конечного значения параметра 128. Это не произошло, поэтому i присваивается следующее значение равное 9 и вновь выполняется тело цикла, т.е. S:=8²+9². Можно сказать так: S присвоить тому S, которое было раньше, + следующее i². Так как цикл еще не закончился, то i станет равным 10, а S присвоится тому S, которое было раньше, т.е. 8²+9², и к нему прибавится еще текущее i², т.е. 10². Этот процесс повторяется до тех пор, пока параметр цикла не станет равным 124. Тогда в последний раз 124² прибавляется к накапливаемой сумме.

Итак: выполнение цикла значения i значения S

1 8 8²

2 9 8²+9²

3 10 8²+9²+10²

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

116 117 8²+9²+10²+…+123²

117 124 8²+9²+10²+…+123² +124²

При i=125 происходит выход из цикла и переход к оператору writeln ('S=' ,S);

Эта, казалось бы, правильно написанная программа дает результат S=-12250. Как может получиться отрицательный результат при суммировании квадратов - заведомо положительных чисел? Такой результат мы получаем путем суммирования и занесения результатов в ячейку S типа integer, а в integer могут быть помещены числа в диапазоне -32768 +32767, поэтому после переполнения ячейки памяти в знаковый разряд переносится 1, которая интерпретируется машиной как '-'. Чтобы этого избежать, можно описать S как longint. Тогда результат работы программы будет правильный и равен 643110.

Program Prim12a;
Vari,s:longint;

BEGIN s:=0;

for i:= 8 to 124 do

s:=s+sqr(i);

writeln('s=',s);

readln;
END.

Можно также описать S как real.
Program Prim12b;
Var i:integer; s:real;

BEGIN s:=0;

for i:= 8 to 124 do

s:=s+sqr(i);

writeln('s=',s);

readln;

END.

Результат работы этой программы будет равен 6.4311000000E+05, что то же самое, что и 643110, если считать, что запись 6.4311000000E+05 равносильна математической записи 6,431110⁺⁵.